【求导公式是什么】在数学中，求导是微积分中的一个基本概念，用于研究函数的变化率。求导公式是计算导数的工具和方法，它帮助我们快速、准确地找到函数的导数。掌握这些公式对学习高等数学、物理、工程等学科至关重要。
以下是对常见求导公式的总结，以文字加表格的形式呈现，便于理解和记忆。
一、基本求导公式
1. 常数函数的导数
若 $ f(x) = C $（C 为常数），则导数为：
$$
f'(x) = 0
$$
2. 幂函数的导数
若 $ f(x) = x^n $，其中 n 为任意实数，则导数为：
$$
f'(x) = n \cdot x^{n-1}
$$
3. 指数函数的导数
若 $ f(x) = a^x $，则导数为：
$$
f'(x) = a^x \ln a
$$
特别地，当 $ a = e $ 时，$ f'(x) = e^x $
4. 对数函数的导数
若 $ f(x) = \ln x $，则导数为：
$$
f'(x) = \frac{1}{x}
$$
5. 三角函数的导数
- $ f(x) = \sin x $，则 $ f'(x) = \cos x $
- $ f(x) = \cos x $，则 $ f'(x) = -\sin x $
- $ f(x) = \tan x $，则 $ f'(x) = \sec^2 x $
- $ f(x) = \cot x $，则 $ f'(x) = -\csc^2 x $
6. 反三角函数的导数
- $ f(x) = \arcsin x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ f(x) = \arccos x $，则 $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ f(x) = \arctan x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $
二、导数的运算法则
| 运算类型 | 公式 | 说明 |
| 加法法则 | $ (f + g)' = f' + g' $ | 两个函数和的导数等于各自导数的和 |
| 减法法则 | $ (f - g)' = f' - g' $ | 两个函数差的导数等于各自导数的差 |
| 乘法法则 | $ (fg)' = f'g + fg' $ | 两个函数积的导数等于第一个函数导数乘第二个函数加上第一个函数乘第二个函数导数 |
| 商法则 | $ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $ | 两个函数商的导数等于分子导数乘分母减去分子乘分母导数，再除以分母的平方 |
| 链式法则 | $ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数的导数等于外层函数导数乘以内层函数导数 |
三、常见函数的导数表
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = C $ | $ 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ n x^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ e^x $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
四、总结
求导公式是微积分的核心内容之一，掌握了这些公式，可以快速计算各种函数的导数，为后续的积分、极值分析、曲线绘制等提供基础支持。通过不断练习和应用，能够更加熟练地运用这些公式解决实际问题。