【利用不动点求数列通项公式】在数列问题中，求通项公式是一个常见的任务。对于一些递推关系较为复杂的数列，传统的逐项计算或特征方程法可能不够高效。而“不动点”方法作为一种数学工具，能够有效简化某些递推数列的通项求解过程。
不动点，是指在某个函数作用下保持不变的值。例如，若存在一个数 $ x_0 $，使得 $ f(x_0) = x_0 $，则称 $ x_0 $ 为函数 $ f $ 的一个不动点。在数列中，若递推关系可以表示为 $ a_{n+1} = f(a_n) $，那么通过寻找该函数的不动点，可以辅助求出数列的通项公式。
以下是对几种常见递推数列类型使用不动点法求通项公式的总结：
一、线性递推数列
对于形如 $ a_{n+1} = k a_n + b $ 的线性递推数列，其不动点可通过令 $ x = kx + b $ 解得：
$$
x = \frac{b}{1 - k} \quad (k \neq 1)
$$
然后将原递推式转化为差分形式，再求通项。
| 递推式 | 不动点 | 通项公式 |
| $ a_{n+1} = 2a_n + 3 $ | $ x = -3 $ | $ a_n = A \cdot 2^n - 3 $ |
| $ a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1 $ | $ x = 2 $ | $ a_n = A \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n + 2 $ |
二、分式递推数列
对于形如 $ a_{n+1} = \frac{pa_n + q}{ra_n + s} $ 的分式递推数列，可以通过构造新的变量 $ b_n = \frac{1}{a_n - x} $ 来消除分母，其中 $ x $ 是不动点。
| 递推式 | 不动点 | 变换后形式 | 通项公式 |
| $ a_{n+1} = \frac{a_n + 1}{a_n + 2} $ | $ x = -1 $ | $ b_n = \frac{1}{a_n + 1} $ | $ a_n = -1 + \frac{1}{A + n} $ |
| $ a_{n+1} = \frac{2a_n + 1}{a_n + 1} $ | $ x = 1 $ | $ b_n = \frac{1}{a_n - 1} $ | $ a_n = 1 + \frac{1}{A + n} $ |
三、非线性递推数列（如二次递推）
对于形如 $ a_{n+1} = a_n^2 + c $ 的非线性递推数列，虽然一般情况下无法直接使用不动点法，但若能找到不动点，则可尝试将其转化为某种等比数列或其它形式。
| 递推式 | 不动点 | 通项公式 |
| $ a_{n+1} = a_n^2 - 2 $ | $ x = 2, -1 $ | 无简单通项公式，需数值分析或特殊技巧 |
| $ a_{n+1} = a_n^2 - 1 $ | $ x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} $ | 通项复杂，通常用迭代方式近似 |
四、应用总结
| 数列类型 | 是否适合用不动点法 | 方法要点 |
| 线性递推 | 是 | 找到不动点后转换为齐次递推 |
| 分式递推 | 是 | 构造新变量消去分母 |
| 非线性递推 | 否或视情况而定 | 仅在有明显不动点时适用 |
| 高阶递推 | 否 | 需要其他方法（如特征方程） |
五、注意事项
- 不动点法适用于具有稳定结构的递推关系；
- 若递推式中没有实数不动点，或不动点不唯一，需结合其他方法；
- 对于复杂递推式，不动点法可能只是辅助手段，不能单独求解通项。
通过合理运用不动点思想，可以在一定程度上简化数列通项的求解过程，尤其在处理线性与分式递推数列时效果显著。不过，对于更复杂的非线性递推关系，仍需结合其他数学工具进行深入分析。