全微分方程是一种特殊的微分方程，其形式为 \( M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \)，其中 \( M \) 和 \( N \) 是 \( x \) 和 \( y \) 的连续可微函数。若该方程满足全微分条件，即 \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \)，则方程可以被求解。
全微分方程的解法步骤
首先，检查是否满足全微分条件。将 \( M(x, y) \) 对 \( y \) 求偏导数，同时将 \( N(x, y) \) 对 \( x \) 求偏导数，验证两者是否相等。如果相等，则说明该方程是全微分方程，可以继续求解。
接下来，寻找一个潜在函数 \( \phi(x, y) \)，使得 \( \frac{\partial \phi}{\partial x} = M(x, y) \) 且 \( \frac{\partial \phi}{\partial y} = N(x, y) \)。从第一个条件开始，对 \( M(x, y) \) 关于 \( x \) 积分，得到 \( \phi(x, y) = \int M(x, y) dx + h(y) \)，其中 \( h(y) \) 是待定函数，因为积分中可能包含仅依赖于 \( y \) 的项。
然后，利用第二个条件 \( \frac{\partial \phi}{\partial y} = N(x, y) \)，将 \( \phi(x, y) \) 对 \( y \) 求偏导数，并与 \( N(x, y) \) 进行比较，确定 \( h'(y) \)。通过积分 \( h'(y) \) 得到 \( h(y) \)，从而完全确定 \( \phi(x, y) \)。
最后，全微分方程的解为 \( \phi(x, y) = C \)，其中 \( C \) 是任意常数。这意味着所有满足该条件的点 \( (x, y) \) 都构成了方程的解曲线。
通过以上步骤，我们可以有效地解决全微分方程问题。这种方法不仅理论清晰，而且操作性强，适用于多种实际应用中的数学建模场景。