矢量叉乘法则

矢量叉乘法则

矢量叉乘（也称为向量积）是三维空间中一种重要的数学运算，它在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。与标量乘法不同，矢量叉乘的结果是一个新的矢量，其方向由右手定则决定，并且大小取决于两个原始矢量的模长及其夹角。

假设我们有两个三维矢量 \(\vec{A} = (A_x, A_y, A_z)\) 和 \(\vec{B} = (B_x, B_y, B_z)\)，它们的叉乘定义为：

\[

\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}

\]

其中，\(\vec{C}\) 的分量可以通过行列式计算得到：

\[

\vec{C} =

\begin{vmatrix}

\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\

A_x & A_y & A_z \\

B_x & B_y & B_z

\end{vmatrix}

\]

展开后可得：

\[

\vec{C} = \left( A_yB_z - A_zB_y \right) \hat{i} - \left( A_xB_z - A_zB_x \right) \hat{j} + \left( A_xB_y - A_yB_x \right) \hat{k}

\]

从公式可以看出，叉乘结果的方向垂直于输入的两个矢量所张成的平面。具体来说，若用右手握住 \(\vec{A}\)，并将手指弯曲指向 \(\vec{B}\) 的方向，则大拇指所指的方向即为叉乘结果 \(\vec{C}\) 的方向。

叉乘的一个重要性质是它的几何意义：叉乘的模长等于两个矢量的模长乘以其夹角的正弦值，即：

\[

|\vec{C}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin{\theta}

\]

这里 \(\theta\) 是 \(\vec{A}\) 和 \(\vec{B}\) 之间的夹角。因此，叉乘可以用来衡量两个矢量构成的平行四边形面积的大小。

此外，叉乘满足反交换律：

\[

\vec{A} \times \vec{B} = - (\vec{B} \times \vec{A})

\]

以及分配律：

\[

\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = (\vec{A} \times \vec{B}) + (\vec{A} \times \vec{C})

\]

总之，矢量叉乘是一种描述空间关系的强大工具，它不仅能够提供矢量间的几何信息，还具有丰富的代数特性，在解决实际问题时发挥着重要作用。无论是分析力矩、电磁场还是旋转运动，叉乘都扮演着不可或缺的角色。

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