双曲线焦点三角形面积公式证明过程（双曲线焦点三角形面积公式）

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1、【题1】 已知F1，F2是双曲线4(x2)－y2＝1的两个焦点，P是双曲线上一点。

2、且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是()．A．1 B．2(5) C．2 D．A　解析：解法一：设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2。

3、[来源:学_科_网]由双曲线的定义可知|d1－d2|＝4．又∠F1PF2＝90°，于是有d1(2)＋d2(2)＝|F1F2|2＝20，因此。

4、＝2(1)d1d2＝4(1)(d1(2)＋d2(2)－|d1－d2|2)＝1．解法二：由4(x2)－y2＝1，知|F1F2|＝2．设P点的纵坐标为yP，由于∠F1PF2＝90°。

5、则P在以|F1F2|为直径的圆上，即在x2＋y2＝5上．[来源:学科网]由x2－4y2＝4，(x2＋y2＝5。

6、)消去x得|yP|＝5(5)．故△F1PF2的面积S＝2(1)|F1F2|·|yP|＝1．【题2】 已知有相同两焦点FF2的椭圆m(x2)＋y2＝1(m>1)和双曲线n(x2)－y2＝1(n>0)，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．随m、n变化而变化【解析】　∵|PF1|＋|PF2|＝2。

7、|PF1|－|PF2|＝±2，又m－1＝n＋1，∴|PF1|2＋|PF2|2＝2(m＋n)＝4(m－1)＝|F1F2|2.【答案】　B【题3】 已知双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0。

8、b>0)，其焦点为FF2，过F1作直线交双曲线同一支于A、B两点。

9、且|AB|＝m，则△ABF2的周长是()A．4a B．4a－mC．4a＋2m D．4a－2m[答案]　C【题4】 已知双曲线9(x2)－16(y2)＝1的左、右焦点分别为FF2，若双曲线上一点P使∠F1PF2＝90°。

10、则△F1PF2的面积是()A．12　B．16　C．24　D．32[答案]　B[解析]　由定义||PF1|－|PF2||＝6，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100。

11、∴|PF1||PF2|＝32，∴S△PF1F2＝2(1)|PF1|·|PF2|＝16.【题5】 已知双曲线C：9(x2)－16(y2)＝1的左、右焦点分别为FF2，P为C的右支上一点。

12、且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于()A．24　 B．36　 C．48　 D．96[答案]　C[解析]　依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝6。

13、∴|PF1|＝16，因此△PF1F2的面积等于2(1)×16×2(16)＝48，选C.【题6】 已知F1。

14、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，P点在C上，∠F1PF2＝60°。

15、则P到x轴的距离为()A.2(3) B.2(6)C. D.解析　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨设m>n。

16、P(x，y)，|PF1|－|PF2|＝m－n＝2.在△F1PF2中。

17、由余弦定理得(2)2＝m2＋n2－2mncos60°，∴8＝(m－n)2＋mn.∴mn＝4.由△F1PF2的面积相等，得2(1)×2×|y|＝2(1)mnsin60°。

18、即|y|＝2(1)×4×2(3).∴|y|＝2(6).即P到x轴的距离为2(6).答案　B【题7】 椭圆49(y2)＋24(x2)＝1与双曲线y2－24(x2)＝1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为 ()A．48 B．24C．24 D．12解析：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0，－5)。

19、又由椭圆与双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2，(|PF1|＋|PF2|＝14，)所以|PF2|＝6。

20、(|PF1|＝8，)或|PF2|＝8.(|PF1|＝6，)又|F1F2|＝10。

21、∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°.因此△PF1F2的面积S＝2(1)|PF1||PF2|＝2(1)×6×8＝24.答案：B【题8】 已知点P是双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)右支上一点。

22、FF2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋2(1)S△IF1F2成立。

23、则双曲线的离心率为()A．4　B．2(5)　C．2　D．3(5)【解析】　由S△IPF1＝S△IPF2＋2(1)S△IF1F2得，|PF1|＝|PF2|＋2(1)×2c，P是右支上的点。

24、所以|PF1|＝|PF2|＋2a，即有2(1)×2c＝2a，e＝2。

25、选C.【答案】　C。

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